Lineáris algebra

Tartalom

I. Determinánsok 1

      1. Kétismeretlenes, két egyenletből álló egyenletrendszerek 1
      2. A másodrendű determináns 2
      3. A harmadrendű determináns 3
      4. A harmad- és másodrendű determináns kapcsolata.
          Az aldetermináns fogalma 5
      5. Az n-edrendű determináns rekurzív definíciója 6
      6. A determináns valamely elemének adjungáltja 7
      7. Determináns kifejtése tetszőleges sora, illetve oszlopa szerint 8
      8. A determinánselmélet alapvető tételei 8
      9. Az aldetermináns és az adjungált fogalmának általánosítása.
          Laplace tétele 16
      10. Vandermonde-determináns 18
      11. A Cramer-szabály 20

II. Vektorterek 24

      1. A vektortér fogalma 24
      2. Alterek 26
      3. Vektortér, vagy altér generálása 27

III. Lineáris függőség, függetlenség, vektorrendszer rangja 29

      1. A lineáris függőség, függetlenség 29
      2. Vektorrendszer rangja 32

IV. Dimenzió, bázis 37

      1. Bázis 37
      2. Dimenzió 38
      3. Véges dimenziós vektorterek 38
      4. Koordináták 41

V. Mátrixok 42

      1. A mátrix fogalma 42
      2. Műveletek mátrixokra 42
      3. Mátrixok blokkokra való bontása 45

VI. Lineáris egyenletrendszerek, Gauss-kiküszöbölés 47

      1. Lineáris egyenletrendszerek 47
      2. A lineáris egyenletrendszer lépcsős alakja 48
      3. Gauss elimináció = Gauss kiküszöbölés 50

VII. A mátrix rangja 51

      1. A mátrix rangja, sorrangja, oszloprangja 51
      2. A mátrix rangjának gyakorlati kiszámítása 55

VIII. Elemi bázistranszformáció 57

      1. A bázistranszformáció fogalma 57
      2. Elemi bázistranszformáció 57
IX. Lineáris egyenletrendszerek, megoldás elemi bázistranszformációval 62

      1. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága 62
      2. Lineáris egyenletrendszerek megoldása 63

X. Homogén lineáris egyenletrendszerek 70

      1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere 70

XI. A mátrix inverze 75

      1. Az inverzmátrix definíciója. Determinánsok szorzástétele. 75
      2. Az inverzmátrix létezésének feltétele 77
      3. A nemelfajuló mátrix inverzének létezése 78
      4. Az inverzmátrix gyakorlati kiszámítása 80
      5. Mátrixegyenletek megoldása 82
      6. Alkalmazás: általános bázistranszformáció 83
      7. Gazdasági alkalmazás: Az ágazati kapcsolatok mérlegéről 84

XII. Lineáris leképezések 85

      1. Lineáris leképezés képtere és magja 85
      2. Lineáris leképezések mátrixa 88
      3. Műveletek lineáris leképezésekre 90
      4. Lineáris transzformációk 94

XIII. Kvadratikus alakok 98

      1. Kvadratikus alakok kanonikus alakja 98
      2. Valós kvadratikus alakok 103
      3. Valós kvadratikus alakok osztályozása 105

XIV. Euklideszi terek, ortonormált bázisok, ortogonális mátrixok 109

      1. Euklideszi tér 109
      2. Ortogonális mátrixok 111